0,1随机变量k小值期望

[0,1]随机变量的k小值期望。

答案： \(\frac{k}{n+1}\)

ET2006大佬大力积分

不认识的大佬的大力积分

不认识的大佬的组合理解

我学到了什么？

分步积分

对不起我不懂微积分，写的一定不严谨。

\[ \begin{aligned} (f(x)g(x))'=f(x)'g(x)+f(x)g(x)'\\ f(x)'g(x)=(f(x)g(x))'-f(x)g(x)'\\ \int_{a}^{b} f(x)g(x)'\text{d}x=\int_{a}^{b} (f(x)g(x))'\text{d}x - \int_{a}^{b} f(x)'g(x)\text{d}x\\ \end{aligned} \]

更换一下符号。

\[ \begin{aligned} \int_{a}^{b} f(x)g(x)\text{d}x=f(x)\int g(x)\mid_{a}^{b} - \int_{a}^{b} [f'(x)\int g(x)]\text{d}x\\ \end{aligned} \]

我还是不会\(\Gamma,\Beta\) 函数，对不起对不起，

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组合方法

添加一个指示变量 \(v_{n+1}\) 那么 k-th 期望可以看成 \(v_{n+1}\) 比 k-th 小的概率。

大于概率是 \(1-v_k\) , 小于概率是 \(v_k\)。合理。

问题被转化，考虑如果我们定出来一个序的话，剩下的无序的东西就全部等价了。

那么最后一个前面没有有 k 个数的排列数显然是 \(n!\cdot k\) ，而全部的排列数也显然是 \((n+1)!\),概率显然是 \(\frac{k}{n+1}\)。

格外需要注意，我们本质上是把一个连续问题转换为离散的，这个是等价的显然。

然后单独考虑离散的也一定是正确的。

合理。